Sejarah Geometri

  SEJARAH GEOMETRI

geometri berasal dari kata (Greek; geo= bumi, metria= ukuran) adalah sebagian dari matematika yang mengambil persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu dari ilmu yang tertua dari ilmu-ilmu yang ada saat ini.Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya.

Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sebenarnya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban  Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia.
Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar.Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume. Pada saat ini perkembangan ilmu geometri semakin memuncak hal, hal ini disebabkan karena peranan penting ilmu geometri untuk kemajuan dunia. Peranan ilmu geometri identik kepada bangunan yang memiliki seni dan aritektur ornamen-ornamen yang indah.

A.    Sejarah Ilmu Geometri

Paling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai ’sumber’ penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000 SM - 500 SM), Yunani (600 SM – 400 SM), Mesir (5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab (600 - 1500 AD), India (1500 BC - 200 BC), dan Cina (100 SM - 1400). Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain, namun, tidak terlalu signifikan.

Bangsa Babilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai Eufrat dan sungai Tigris di wilayah Timur Tengah. Geometri yang lahir dan berkembang di Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu.Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar.  Juga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan pajak.Teknik-teknik geometri yang berkembang saat itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif.Akan tetapi, cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri

Orang-orang Mesir rupanya telah mengembangkan rumus-sumus mengenai luas suatu daerah dalam kehidupan mereka untuk menghitung luas tanah garapannya.Selain melanjutkan mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan ’sexagesimal’ berbasis 60. Kita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini  ketika berbicara tentang waktu.

Pertanian bangsa mesir berkembang pesat. Pemerintah memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil. Maka, geometri maju di sini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan wilayah di sepanjang sungai Nil itu.

Di Yunani, geometri mengalami masa ’emas’nya. Sekitar 2000 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori aksiomatis. Teori berpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma. Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan. Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides.

B.     Peranan Ilmu Geometri dalam Kehidupan

1.    Peranan Ilmu Geometri dalam Kehidupan Manusia

Ilmu geometri tak luput dari perananya akan keberhasilan suatu bangunan, Ilmu geometri merupakan salah satu ilmu yang perananya cukup terasa dalam perkembangan dunia dari dahulu hingga sekarang. Sehingga tak ayal kalau ilmu geometri semakin maju dan diharapkan terus akan perkembangan darinya untuk membantu kehidupan. Dalam kemajuan dibidang teknologi dan Iptek Ilmu geometri menyumbangkan fungsi dan perananya misalnya geometri fractal (kerjasama ilmu geometri transformasem lah

asi, analisis dan ilmu dan lain sebagainya.

Geometri sekarang ini sudah berkembang menjadi sebuah bidang yang sangat luas.Hampir semua yang ada di dunia ini bisa dikaitkan dengan geometri.Dengan demikian, arsitektur pun tidak luput dari geometri. Arsitektur yang proses perancangannya sederhana (hanya merupakan susunan komposisi dan proporsi) sampai arsitektur yang proses perancangannya sangat kompleks (dengan memasukkan parameter-parameter kebutuhan computer manusia, bahkan parameter waktu) semuanya memiliki unsur-unsur geometri yang harus dikaji dan dipelajari. Ide apa pun yang ada di dalam kepala kita sebagai awal ide perancangan, bisa kita kaitkan ke geometri untuk lebih memperkaya, bukan hanya bentuk, melainkan juga sirkulasi dan esensi yang ada dalam rancangan kita. Oleh karena itu, saya berpendapat bahwa dalam merancang sebuah arsitektur tidak bisa lari dari geometri.Geometri dalam arsitektur memiliki sifat mengikat, karena sebagai perancang tidak bisa tidak mempertimbangkan geometri.

2.         Peranan Ilmu Geometri dalam Kehidupan Islam

Di awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin. Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia.Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar. Kita mengenalnya menjadi geometri analitik. Mereka juga mengembangkan polinomial.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang  pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah  bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya, membuat bangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata. Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.   Saat itulah muncul ahli geometri di India.  Tentu, bangunan itu  juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India.Di sinilah berkembang teori-teori geometri.

Pada Zaman Pertengahan, Ahli matematik Muslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar dan  aljabar geometri. Al- Mahani (1.853) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit ibn Qurra (dikenal sebagi Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang  pengembangan geomeri analitik. Omar Khayyam (1048 -1131) menemukan penyelesaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri bukan Euclid.

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.Yang pertama, dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665).Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus.Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan secara sistematik dari geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, Cuma dengan menyelidik bagaimana hubungan antara satu sama lain.

Dua perkembangan dalam geometri pada abad ke-19,mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari ahli geometri pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja secara analisis matematika, dan Henri Poincaré, sebagai penggagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.

Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, dan latar belakang semula hanya teori yang berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal pasti seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama.

Salah satu warisan budaya Islam yang terkenal adalah penggunaan pola geometri pada kesenian dan arsitektur Islam. Hal ini bisa dilihat dari bangunan sejarah yang masih ada di kota Granada, Andalucia, Spanyol, yaitu Alhambra.Pola pembuatan denah, fasade, dan ornamen yang menghiasi bangunan ditata dalam kesenian matematikasederhana.Islam pernah mengalami kejayaan di Eropa yang dimulai dari Andalusia, Spanyol bagian selatan, pada masa pemerintahan bani Umayah yaitu tahun 711 masehi atau 97 hijriah. Salah satu bangunan terkenal yang menjadi saksi kejayaan pada masa itu adalah Alhambra yang terletak di kota Granada dan Masjid Cordoba yang terletak di Cordoba.Kedua kota tersebut berada di Andalucia,Spanyol.Pembangunan kedua bangunan tersebut didesain tidak lepas dari seni islam yang berkembang pada saat itu. Kesenian islam yang dimaksud, menurut Prisse (1878) dalam Rabah (2004) terbagi dalam 3 bagian, yaitu bunga, geometri, dan kaligrafi. Ketiga seni islam tersebut yang menghiasi ruang dalam dan fasade bangunan.

Selain itu peranan geometri dalam kehidupan islam adalah Spherical geometri,yakni sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sulit di dalam astonomi Islam. Umat Islam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat,  Ramadhan, serta hari raya baik Idul Fitri maupun Idul Adha. Dengan bantuan spherical geometri, kini umat Muslimbisa memperkirakan waktu-waktu tersebut dengan mudah.

C.     Tokoh-Tokoh Geometri

1.      Thales (640 – 546 SM)

Pada mulanya geometri lahir semata-mata didasarkan oleh pengalaman.Namun matematikawan yang pertama kali merasa tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman adalah Thales (640-546 SM). Masyarakat matematika sekarang menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkarta “Buktikan itu” dan bahkan ia selalu melakukan itu. Dari sekian banyak teorema adalah:

o  Sudut-sudut alas dari suatu segitiga samakaki adalah kongruen,

o  Sudut-sudut siku-siku adalah kongruen,

o  Sebuah sudut yang dinyatakan dalam sebuah setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

2.   Pythagoras (582-507 SM)

Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582-507 SM) berikut para pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan langkah Thales. Para Pythagorean menggunakan metode pembuktian tidak hanya untuk mengembangkan Teorema Pythagoras, tetapi juga terhadap teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorama tentang jumlah-jumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.

3.   Euclid (300 SM)

Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar.Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli mereka semua.

Dalam bukunya The Elements, Euclid menggabungkan pekerjaan disekolah yang telah ia ketahui dengan semua pengetahuan matematika yang ia ketahui dalam suatu perbandingan yang sistematis hingga menjadi sebuah hasil yang menakjubkan. Kebanyakan dari pekerjaannya itu bersifat original, sebagai metode deduktif ia mendemonstrasikan sebagian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. Dalam Element Euclid pun menjelaskan aljabar dan teori bilangan sebaik ia menjelaskan geometri.

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya.Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik.

Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan.Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

D. Sejarah Geometri Analitik

Terdapat perbedaan pendapat tentang siapa yang menemukan geometri analitik. Tidak diketahui dengan jelas siapa penemu geometri analitik. Kita tahu bahwa Yunani Kuno menemukan berbagai hal tentang aljabar geometri, dan dikenal banyak orang tentang koordinat yang digunakan di jaman kuno oleh orang Mesir dan Romawi dalam pembuatan  peta. Dan orang-orang Yunani mempunyai andil besar dalam geometri khususnya persamaan geometri, persamaan kurva Cartesius, merupakan pendapat asli dari Menaechmus. Pada abad 14 Nicole Oresme melahirkan dalil-dalil dengan cara pembuatan grafik kurva variabel bebas (latitudo) yang berbeda dengan grafik kurva variabel tidak bebas (longitudo). Semua ini masih jauh dari apa yang sebenarnya kita pikirkan tengan gemetri analitik, dan mungkin memang benar bahwa kontribusi konstanta telah ditemukan Descartes dan Fermat pada abad ke 17 sebagai suatu hal penting dalam geometri analitik. Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.

Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Geometri Analitik, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri Kartesius, adalah pembahasan geometri menggunakan prinsip-prinsip aljabar menggunakan bilangan riil. Biasanya, sistem koordinat Kartesius diterapkan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi, yang sering dalam pengukuran 2 atau 3 dimensi. Seperti yang diajarkan di buku pelajaran sekolah, geometri analitis dapat dijelaskan dengan sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan dapat diasumsikan sebagai sebuah vektor atau bangun. Bagaimanapun juga beberapa output numerik juga membentuk vektor. Ada anggapan bahwa lahirnya geometri analitis adalah permulaan matematika modern. Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri  projektif oleh Girard Desargues (1591– 1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain.

     

      B.     Para Penemu Geometri Analitik

1           1. Rene Descartes (1596-1650)

     Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah Desa La Haye Prancis tanggal 31 Maret 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri analitik. Terobosan baru  pada penemuan karya matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes. Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya yang berjudul “La Géométrie” Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian geometri  pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai  pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat Beliau mempelajari bentuk -bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan, diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi relasi x dan y. 

Pada suatu sumbu dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang dilukiskan y, maka terbentuk (x,y). Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah  positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y. Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3 satuan ukuran pada sumbu x dan 2 satuan ukuran pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (3,2) notasi  positif karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada sumbu x bertanda negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titik-titik pada sumbu X maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y bertanda negatif seperti (2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa melihat gambar di bawah ini.

Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk memunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras,  pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya“Discourse on Method ”, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah  permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya, “La Géométrie”, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya. 

2 .Pierre de Fermat (1601-1665)

Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Beliau memperoleh  pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya yang sederhana. Penemuan fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan Beliau dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa yakni: Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima kepada m maka pm-1 -1 habis dibagi m. Misalnya: m = 5, p =4 maka 45-1 -1 = 255 habis dibagi 5. Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan sebagai berikut : Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka : Bukti yang diberikan itu amat sederhana. Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y) Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x +y = p dan, x - y = 1. ü Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat. Misalnya: 13 = 4 x 3 + 1= 22 + 32 29 = 4 x 7 + 1 = 52 + 22 . Bilangan Prima p = 4m +1 hanya terjadi satu kali sebagai hipotenusa segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa dan seterusnya. Contohnya : p = 13 = 4(3) + 1, maka 132 = 122 + 52 ( satu kali), p = 169, maka 1692 = 1562 + 652 = 1202 + 1192 (dua kali) Dan seterusnya. Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai penyelesaian dari x2 + 2 = y3 , dan hanya dua dari x2 + 4 = y

3 Soal ini dikemukakan Fermat sebagai tantangan kepada ahli matematika inggris. Penyelesaiannya : x = 5 , y = 3 pada persamaan pertama. x=2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua.

Beliau dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun. Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika. Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-17. Fermat menekuni “olah raga” paling menantang pada masa itu yakni memburu dan melakukan restorasi barang-barang peninggalan kuno. Dengan dasar bahan-bahan yang diperoleh, Fermat merekonstruksi Plane Locidari Apollonius dan meng-update “Koleksi Matematika” (Mathematical Collection) dari Pappus dari Alexandria.

Pada tahun 1629, Fermat memberikan salinan karya Apollonius yang selamat, Plane  Loci, kepada salah seorang matematikawan di sana. Tidak lama kemudian, Fermat mencetuskan karya tentang maksimal, minimal dan tangen, di mana karya itu kemudian diberikan kepada Etienne d’Espagnet yang memunyai minat sama terhadap matematika guna dipelajari. Hasil sampingan dari upaya Fermat ini adalah suatu penemuan. Pada tahun 1636, Fermat mencetuskan prinsip dasar analitik geometri: Apabila diketahui persamaan dengan dua peubah (variabel) yang tidak diketahui dan dapat dihitung, akan didapat locus, yang secara gamblang menunjukkan suatu  garis, lurus atau lengkung. Pernyataan di atas, ditulis setahun sebelum Descartes menerbitkan Geometry, tampaknya merupakan pengembangan dari aplikasi Fermat terhadap analisis Viete guna mempelajari loci dari Apollonius.

            Gambar di atas tampak seperti bukit dan lembah. Yang membedakan hanyalah gambar tersebut terletak dalam sistem kuadran dari Descartes. Perhatikan bahwa garis lengkung itu memunyai maksimal (titik tertinggi) dan minimal (titik terendah). Disebut tertinggi dan terendah karena dibandingkan dengan titik-titik yang terletak disebelahnya. Sekarang, amatilah tangen masing-masing titik maksimal dan minimal yang terletak pada sumbu t yang sejajar dengan sumbu x. Arah tangen pada titik ekstrim (maksimal dan minimal) dari f(t) adalah titik nol. Apabila kita mencari titik ekstrim dari fungsi, f(t), maka kita dapat menyelesaikan  problem arah (slope) untuk kurva y = f(t), dan tentukan bahwa arah untuk titik t, y sama dengan 0, bila arah itu diekspresikan dengan notasi aljabar. Hal ini sangat penting guna menemukan nilai t yang sesuai dengan titik ekstrim. Metode penemuan Fermat pada tahun 1628 - 1629, tidak pernah dipublikasikan sampai sekitar satu dekade lamanya. Penemuan ini baru diketahui karena karya tersebut dikirim ke Descartes lewat  perantaraan Mersenne.